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Arquímedes Primero

Volumen y Densidad

Las Aeronaves se pueden dividir en dos tipos:
- Más pesadas que el aire.
- Más ligeras que el aire.
Básicamente las más pesadas que el aire son las habituales: aviones, helicópteros, cohetes etc
Las más ligeras que el aire son los globos y dirigibles.
Para llevar a cabo este proyecto tendremos que utilizar una mezcla de ambas: El Rockoon, la suma de un globo y un cohete.
Pero primero vamos a solucionar el problema por pasos. Para ello vamos a repasar un poco de Física, lo importante es que estos dos señores estén en el equipo: el Sr. Newton y el Sr. Arquímedes.

Queremos subir, Arquímedes nos soluciona los primeros kilómetros de altura sin gastar energía gracias a “El Principio de Arquímedes”. 

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Sobre el globo básicamente hay dos fuerzas.
Una para abajo, el peso: 

Peso = Masa * Gravedad

La masa de todo el globo, es decir la carga, las cuerdas, la envoltura del globo... ah! y el gas que usemos, que aún siendo más ligero que el aire también tiene una masa.
Para este ejemplo asumiremos que la masa del globo mas las cuerdas etc.. pesan 1 kg. La masa del gas dependerá de la cantidad que necesitemos así que la calcularemos aparte.
A la Gravedad la llamaremos "g" y es un valor constante de 9,8 m/s2  
A la fuerza Peso en adelante la llamaremos "W".
Y otra para arriba, el empuje o fuerza ascensional que llamaremos "P".  
El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado. Empuje es por tanto el peso del fluido desalojado. 
Empuje  = Peso a desalojar = densidad * Volumen * Gravedad 
Para que el globo suba se ha de conseguir que P sea mayor que W: 

P > W

Ahora unos datos técnicos, los datos son de la Wikipedia pero más adelante veremos como calcularlos.

densidad del aire 1,29 kg/m3 
densidad del Helio 0,1785 kg/m3
densidad del Hidrógeno 0,0838 kg/m3
(densidad a 1013.25 mb y 0ºC)
Como hemos dicho nuestro globo pesa 1 kg de masa total y queremos usar Helio para hacerlo subir. ¿Que Volumen de gas necesitamos?
Aplicamos el principio de Arquímedes.
"Da" será la densidad del aire, "Dhe" la del helio redondeada para el ejemplo.
Da = 1,29 kg / m³
Dhe = 0,18 kg / m³
Calculemos primero el peso y luego el empuje
Aquí aparece incógnita que queremos resolver y que llamaremos V, esta es el volumen de gas que necesitaremos para lograr el empuje que queremos, además le sumaremos una masa de 1 kg de carga de pago.
Peso = Masa * Gravedad, que medimos en Newtons
la gravedad la llamaremos "g" con un valor constante de 9,8 m/s²
Por lo tanto el peso total es
W1= 1 * 9,8
El principio de Arquímedes dice que

W=Dhe*g*V

El peso del Helio que necesitamos es:
W2 = 0.18 * 9.8 * V

El peso de nuestro globo es W y es la suma de W1 y W2
W = (1 * 9,8) + (0,18 * 9,8 * V)
Ahora vamos a ver cual es el valor de V, para ello usaremos la misma formula para conocer P
P = peso del aire desplazado (pricipio de Arquímedes) = Da * g * V
Por lo tanto el aire desplazado es:
P = 1.29 * 9.8 * V
Y como tenemos que cumplir que  P > W,
1.29 * 9.8 * V > (0.18 * 9.8 * V) + (1 * 9.8)
Como se puede apreciar la gravedad está en ambos lados de la ecuación por lo que se puede descatar reduciendo la formula a :
1.29 * V > (0.18 * V) + 1
O:
1.29 * V - 0.18 * V > 1
1.11 V > 1
o lo que es lo mismo
V > 1 / 1.11
V > 0.901 m³, es decir 901 litros de Helio
Simplificando podemos dejar la siguiente fórmula

V litros = payload kg / (Densidad del aire - densidad del gas utilizado)
Otro ejemplo: si usamos Hidrógeno y un 1Kg quedaría así:
V = 1 / 1.29 - 0.084
V = 0.83 m³, es decir 830 litros of H2
A pesar de que el Helio duplica el peso del Hidrógeno, la diferencia de volumen es de tan solo un 8% en este caso.
Otra posibilidad ¿podemos utilizar el mismo gas dentro y fuera del globo? (hablamos del aire)
Si, basta con cambiar la densidad del aire de dentro del globo.
La densidad se puede calcular usando la formula de los gases ideales, gracias de nuevo a la Wikipedia podemos saber que:
Densidad = Presion en Pascales / Constante de los Gases R * temperatura en grados Kelvin)

Por lo tanto, la densidad varía con la presión y con la temperatura.
Un globo solar es el método más económico para volar un globo, el aire dentro del globo es menos denso que el exterior por efecto invernadero que hace el Sol (pero funciona solo durante el día).
Según Wikipedia, el aire caliente a 50ºC tiene una densidad de 1.09, por lo que para levantar un kg necesitamos:
V = 1 / 1.29 - 1.09
V = 1 / 0.2 = 5 m³, es decir, 5000 litros de aire caliente a 50 ° C (suponiendo que el aire exterior está a 0 ° C).
Como puedes ver, la densidad es muy importante para calcular el peso de un gas.
Y lo mejor, ahora tenemos una fórmula para calcular la densidad:
Como ya dijimos, la densidad de un gas puede calcularse utilizando la ley de los gases ideales, expresada en función de la temperatura y la presión.

Por ejemplo aire seco:

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Como ejemplo, calculemos la densidad del aire seco a nivel del mar en condiciones de presión atmosférica estándar (1013.25 hPa o 101325Pa) y temperatura de 0ºC y 50ºC.

Recuerda que para convertir ºC a ºK es temperatura en ºC + 273.15. 

Densidad (a 0ºC) = 101325 / (287,05 * (0 + 273,15)) = 1,2922 kg / m³ 

Densidad (a 50ºC) = 101325 / (287,05 * (50 + 273,15)) = 1,0923 kg / m³ 

¡Estupendo! podemos encontrar el Volumen de un gas sin la Wiki :) ... vale ... necesitamos los valores R :( 

Los R más utilizados son:

R helio = 2077 J / (kg.K)

R Hidrógeno = 4124 J / (kg.K)

R aire = 287,05 J / (kg.K)

Ahora podemos calcular el gas que necesitamos para subir un globo y pronto podemos calcular la altitud teórica de la explosión del globo. Y en el caso de un globo Super presurizado, donde la envolvente no es elástica, podemos calcular la altitud teórica máxima que podría alcanzar.